Реципрочна вредносц

Реципрочна вредносц числа $x$, хтора ше означує ${\frac {1}{x}}$ або $x^{-1}$, то число хторе кед ше помножи зоз $x$ достава ше резултат 1.

Реципрочна вредносц розламка ${\frac {a}{b}}$ то ${\frac {b}{a}}$.

За доставанє реципрочней вредносци реалного числа потребне подзелїц 1 зоз тим числом. Наприклад, реципрочна вредносц числа 5 то єдна пиятина (${\frac {1}{5}}$ або 0,2) а реципрочна вредносц числа 0,25 то 1 подзелєно зоз 0,25, односно 4.

Реципрочна функция, функция $f(x)$ хтора пресликовює $x$ до ${\frac {1}{x}}$, єдна зоз найєдноставнєйших прикладох функциї хтора сама себе инверзна.

Нотация $f^{-1}$ ше дакеди хаснує за инверзну функцию функциї $f$, хтора нєєднака зоз реципрочну вредносцу. Наприклад, реципрочна вредносц ${\frac {1}{\sin {x}}}=(\sin {x})^{-1}$ то косеканс од $x$, и нєинверзни синус тє. аркус синус од $x$ хтори ше означує зоз $\sin ^{-1}{x}$ або $\arcsin {x}$.

Комплексни числа

Реципрочна вредносц комплексного числа розличного од нули $z=a+bi$ комплексна. Достава ше зоз множеньом и чишлїтеля и менователя ${\frac {1}{z}}$ зоз його кон'юґовано-комплексним числом ${\bar {z}}=a-bi$ и хаснуюци свойсво же $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$, квадрирана абсолутна вредносц $z$, а то реалне число $a^{2}+b^{2}$:

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.$

Конкретно, кед $\|z\|$ = 1, теди ${\frac {1}{z}}={\bar {z}}$.

За комплексне число у поларней форми $z=r(\cos {\varphi }+i\sin {\varphi })$, реципрочна вредносц єднака зоз реципрочну вредносцу интензитету $r$ и негативни угли:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos {(-\varphi )}+i\sin {(-\varphi )}\right).$

Инфинитезимални рахунок

Вивод

Вивод функциї ${\frac {1}{x}}=x^{-1}$ дати на основи виводу ступньовей функциї, кед ступень -1:

${\frac {d}{dx}}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{{\frac {1}{x^{2}}}.$

Интеґрал

Интеґрал ступньовей функциї ше нє може хасновац же би ше вираховал интеґрал ${\frac {1}{x}}$, прето же би то було дзелєнє зоз нулу:

$\int {\frac {1}{x}}\,dx={\frac {x^{0}}{0}}\ +C$.

Прето ше интеґрал рахує як:

$\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx=\ln {a},$

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x+C.$

дзе $\ln$ природни лоґаритем. Най тото докажеме мушиме вжац до огляду же ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$, та кед $y=e^{x}$и $x=\ln {y}$, доставаме:

${\frac {dy}{dx}}=y\quad \Rightarrow \quad {\frac {dy}{y}}=dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=\int 1\,dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=x+C=\ln y+C.$