Єдначини у хторих ше нєпозната велькосц находзи у екпоненту ступня волаю ше експоненциялни єдначини .
Експоненциялна єдначина дефинована за шицки вредосци нєпознатей велькосци x зоз домену реалних числох.
Под єдноставнима експоненциялнима єдначинами подрозумюю ше єдначини хтори маю єден член зоз нєпознату велькосцу у експоненту ступня:
3
2
(
x
+
1
)
=
81
{\displaystyle 3^{2(x+1)}=81\,}
3
2
(
x
+
1
)
=
3
4
2
(
x
+
1
)
=
4
2
x
+
2
=
4
x
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}3^{2(x+1)}&=3^{4}\\2(x+1)&=4\\2x+2&=4\\x&=1\\\end{aligned}}}
Зложени експоненциялни єдначини содержа векше число членох у хторих нєпозната велькосц у експоненту ступня.
Ришиц експоненциялну єдначину:
4
(
x
2
−
x
+
1
)
=
8
x
{\displaystyle 4^{(x^{2}-x+1)}=8^{x}\,}
2
2
(
x
2
−
x
+
1
)
=
2
3
x
2
(
x
2
−
x
+
1
)
=
3
x
2
x
2
−
2
x
+
2
=
3
x
2
x
2
−
5
x
+
2
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}2^{2(x^{2}-x+1)}&=2^{3x}\\2(x^{2}-x+1)&=3x\\2x^{2}-2x+2&=3x\\2x^{2}-5x+2&=0\\\end{aligned}}}
Кед ше риши квадратна єдначина достава ше ришеня
x
1
=
2
{\displaystyle x_{1}=2}
x
2
=
1
2
{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}}
Ришиц експоненциялну єдначину:
(
3
7
)
3
x
−
7
−
(
7
3
)
7
x
−
3
=
0
{\displaystyle {{\bigg (}{\frac {3}{7}}{\bigg )}}^{3x-7}-{{\bigg (}{\frac {7}{3}}{\bigg )}}^{7x-3}=0}
Кед ше похаснує правила за операциї зоз ступнями, достанє ше:
(
3
7
)
3
x
−
7
=
(
7
3
)
7
x
−
3
(
3
7
)
3
x
−
7
=
(
3
7
)
−
7
x
+
3
3
x
−
7
=
−
7
x
+
3
10
x
=
10
x
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{{\bigg (}{\frac {3}{7}}{\bigg )}}^{3x-7}&={{\bigg (}{\frac {7}{3}}{\bigg )}}^{7x-3}\\{{\bigg (}{\frac {3}{7}}{\bigg )}}^{3x-7}&={{\bigg (}{\frac {3}{7}}{\bigg )}}^{-7x+3}\\3x-7&=-7x+3\\10x&=10\\x&=1\end{aligned}}}
Ришиц експоненциялну єдначину:
3
⋅
4
x
+
2
⋅
9
x
=
5
⋅
6
x
{\displaystyle 3\cdot 4^{x}+2\cdot 9^{x}=5\cdot 6^{x}}
Кед ше риши єдначина, достанє ше:
3
⋅
2
2
x
+
2
⋅
3
2
x
=
5
⋅
2
x
3
x
/
:
2
x
3
x
3
2
x
3
x
+
2
3
x
2
x
=
5
3
(
2
3
)
x
+
2
(
3
2
)
x
=
5
/
:
(
2
3
)
x
=
y
3
y
+
2
1
y
−
5
=
0
/
⋅
y
3
y
2
−
5
y
+
2
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}3\cdot 2^{2x}+2\cdot 3^{2x}&=5\cdot 2^{x}3^{x}/:2^{x}3^{x}\\3{\frac {2^{x}}{3^{x}}}+2{\frac {3^{x}}{2^{x}}}&=5\\3{{\bigg (}{\frac {2}{3}}{\bigg )}}^{x}+2{{\bigg (}{\frac {3}{2}}{\bigg )}}^{x}&=5/:{({\frac {2}{3}})}^{x}=y\\3y+2{\frac {1}{y}}-5&=0/\cdot y\\3y^{2}-5y+2&=0\\\end{aligned}}}
Кед ше риши достата квадратна єдначина по y достанє ше же
y
1
=
1
{\displaystyle y_{1}=1}
y
2
=
4
6
{\displaystyle y_{2}={\frac {4}{6}}}
(
2
3
)
x
=
y
{\displaystyle ({\frac {2}{3}})^{x}=y}
x
1
=
0
{\displaystyle x_{1}=0}
x
2
=
1
{\displaystyle x_{2}=1}
Ришиц експоненциялну єдначину:
27
(
x
2
−
3
x
−
3
)
−
(
1
27
)
x
=
0
{\displaystyle 27^{(x^{2}-3x-3)}-{{\bigg (}{\frac {1}{27}}{\bigg )}}^{x}=0}
Кед ше риши єдначина, достанє ше:
3
3
(
x
2
−
3
x
−
3
)
=
3
−
3
x
3
(
x
2
−
3
x
−
3
)
=
−
3
x
3
x
2
−
9
x
−
9
=
−
3
x
3
x
2
−
6
x
−
9
=
0
/
:
3
x
2
−
2
x
−
3
=
0
/
{\displaystyle {\begin{aligned}{3}^{3(x^{2}-3x-3)}&=3^{-3x}\\3(x^{2}-3x-3)&=-3x\\3x^{2}-9x-9&=-3x\\3x^{2}-6x-9&=0/:3\\x^{2}-2x-3&=0/\\\end{aligned}}}
Кед ше риши найдзена квадратна єдначина по достава ше и ришенє експоненциялней єдначини :
x
1
=
3
{\displaystyle x_{1}=3}
x
2
=
−
1
{\displaystyle x_{2}=-1}
Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
