Виєтово формули

У математики, односно алґебри, Виєтово формули, хтори достали мено по Франсоа Виєту, формули хтори даваю вязу помедзи нулами єдного полинома и його коефициєнтами.

Формули

Кед $P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ полином ступня $n\geq 1$ зоз комплекснима коефициєнтами (числа $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}$ комплексни, и $a_{n}\neq 0$), по основней теореми аритметики $P(X)$ ма $n$ (нєобовязно розлични) комплексни коренї $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ Виєтово формули:

$x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}$

$(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}$

$\cdots \,$

$x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.$

З другима словами, сума шицких можлївих продуктох $k$ нулох полинома $P(X)$ єднака $(-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},$

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

за кажде $k=1,2,\dots ,n.$

Виєтово формули важа за полиноми зоз коефициєнтами у гоч хторим комутативним персценю, потамаль покля тот полином ступня $n$ ма $n$ нули у тим персценю.

Приклад

За полином другого ступня $P(X)=aX^{2}+bX+c$, $x_{1}$ и $x_{2}$ ришєня квадратней єдначини, односно важи $P(X)=0$ задоволюю єднакосц

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

Перша єдначина може ше похасновац же би ше нашол минимум (або максимум) од P.

Доказ

Виєтово формули ше можу доказац зоз записованьом єднакосци: $a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$

(цо точне, прето же $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ шицки нули полинома), зоз множеньом през фактори зоз правого боку и глєданьом коефициєнта за кажди ступень $X$.