Безуова теорема

Безуова теорема то єдна зоз алґебарских теоремох хтора дефинує дзелївосц двох полиномох кед дзелїтель ма форму $x-\alpha$ . Вона ше хаснує за розкладанє полиномох на фактори. Теорема достала мено по французкому математичарови Ет'єнови Безуови.

Теорема (Безуов став): Дати полином $P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}\;(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} )$ , и полином $Q(x)=x-\alpha \;(\alpha \in \mathbb {R} )$ , теди полином $P(x)$ при дзелєню зоз полиномом $Q(x)$ дава остаток $P(\alpha )$ . Специялно, кед $P(\alpha )=0$ полином $P(x)$ дзелїви зоз полиномом $Q(x)$ .

Доказ: У общим случаю, дзелєнє двох полиномох ше може записац як:

$P(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x)$

дзе $B(x)$ полином хтори представя количнїк, а $R(x)$ остаток при дзелєню полинома $P(x)$ зоз $Q(x)$ . Зоз заменьованьом $Q(x)=x-\alpha$ ше достава:

$P(x)=B(x)(x-\alpha )+R(x)$

Кед важи $x=\alpha$ достава ше:

$P(\alpha )=B(\alpha )(\alpha -\alpha )+R(\alpha ),$

односно, $P(\alpha )=R(\alpha )$ цо и требало доказац.

Приклад

Дати полином $p(x)=x^{2}+3x+2\,$ .

Шлєбодни член то число $2$ и одредзиме його позитивни и нєґативни дзелїтелї $1,-1,2,-2$ . Тоти дзелїтелї заменїме зоз $x$ . Потим, дзелїме єдначину зоз $x-n$ , при чим $n$ число хторе кед зме заменєли зоз $x$ дало $0$ . Одредзуєме: